解析力学~その1~ - Hello World ☆

はしがき

学生時代、どんな科目の講義が好きでしたか？

この問いにあなたは何と答えますか。

私は割と講義をサボっていましたが、この質問には答えることが出来ます。

西洋近代史、そして解析力学です。

私自身、その後、研究者の道へは行きませんでしたが、

あの講義を思い出すともう一度勉強をしたくなりました笑

これは私のボケ防止と個人的な日記みたいなものです。

なので、温かい目で見てください☆

変分法
Lagrange方程式
準備
Hamiltonの方程式(1853年)

変分法

まず、ここでのお約束を決めておく。

n次元のベクトル : $ x= \begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} $, 関数f(x)のgradient : $ \frac{\partial f}{\partial x}= \begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1} \\ \vdots \\ \frac{\partial f}{\partial x_n} \end{pmatrix} $,

特に太字も$\vec{a}$みたいにベクトル記号も使いませんが、

そこは心の目で追ってください苦笑

ということで、

内積 : $ a \cdot b $ or $ (a,b) $

と書かせてもらいます。

汎関数 : $ \Phi (\gamma) $

「汎関数は曲線$ \gamma $に依存する関数です」と言っても恐らくわからないと思いますので、例を出しましょう。

関数は変数を扱います。そして、汎関数は関数を扱います。

ここで微分と変分を考えてみます。

やっていることはとても似ています。

上図を見れば、左は変数の微小区間の変位を扱っているのに対して、右側は関数の微小区間の変位を扱っていることがわかります。これからやることは微分法と凄く似ています。ただ、扱っているのが関数というだけです。

　例を出しながら、理解を更に深めましょう。

上図の例では、ユークリッド空間におけるカーブの長さを考えていきます。

まず、曲線の長さ$ \Phi (\gamma) $は汎関数です。

次に曲線の長さを考えて見ましょう。

曲線の長さの求め方は、微小区間での長さを考えて、それを積分(足し算)します。なので上図の微小区間から、三平方の定理を使えば$\sqrt{dx^2+dt^2}$と微小区間の長さが求まります。それを積分すれば、全体の長さが求まります。つまり、

$$\Phi (\gamma) = \int_{t_0}^{t_1} \sqrt{dx^2+dt^2} = \int_{t_0}^{t_1} \sqrt{d\dot{x}^2+1} dt$$

変分

$ \gamma $を少しずらして見ましょう。つまり、関数形を変化させます。

さて、ここで関数形の差分を考えて見ましょう。

$$\gamma^\prime – \gamma = h$$

このとき$ h $は小として扱います。微小な変化を考えているというニュアンスです。

$ \Phi (\gamma) $が微分可能とは、$ \Phi (\gamma + h) – \Phi (\gamma) = F + R $において

(i)$F$は$h$に対して線形

$$ F(h_1 + h_2) =F(h_1) + F(h_2)$$

(ii)$R = O(h^2) $ : 2次のオーダーの時、$F(h)$を$\Phi$の変分という。

変分$F = 0$の時$\gamma$を極値曲線という。

微分法と変分法のまとめをしますと、

	微分	変分
扱うもの	極値	極値
何の極値を扱う	変数	汎関数
何が変化する	変数	関数形
極値ではどうなる	微分がゼロ	変分がゼロ

微分と変分の比較

$F$の公式

定理1

曲線 : $ \gamma = x(t) $　　　$( t_0 ≦ t ≦ t_1 ) $

汎関数 : $ \Phi (\gamma) = \int_{t_0}^{t_1} L ( x(t) ,\dot{x} (t),t) dt$

このとき、$ \Phi (\gamma) $の変分は、

$$F(h) = \int_{t_0}^{t_1} [\frac{\partial L}{\partial x} – \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} ] hdt+(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}h) |_{t_0}^{t_1}$$

となる。

証明

$$ \Phi (\gamma + h) – \Phi (\gamma) = \int_{t_0}^{t_1} ( L ( x + h ,\dot{x} + \dot{h},t) – L ( x ,\dot{x} (t),t))dt $$

$$ = \int_{t_0}^{t_1} (\frac{\partial L}{\partial x}h – \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\dot{h})dt + O (h^2)$$

$$ =\int_{t_0}^{t_1} [\frac{\partial L}{\partial x} – \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} ] hdt+(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}h) |_{t_0}^{t_1}+ O (h^2) $$

2式目の$O(h^2)$は2次項を表している。これは1式目のTaylor展開から生じたもの。3式目は部分積分を行って項が増えただけです。□

Lagrange方程式

運動方程式を如何にして極値問題に直すお話をする。

その前に運動方程式について、

運動方程式( Euler, 1750) : $ \frac{d}{dt}(m\dot{r}) + \frac{\partial U}{\partial r}=0$・・・(1)

$U$ : ポテンシャル (Lagrange 1774)

$ F= -\frac{\partial U}{\partial r}$

である。

これを$ \Phi (\gamma) = \int_{t_0}^{t_1} L dt$の極値問題に直す。

極値を考える曲線のクラス

点$(t_0,x_0)$から点$(t_1,x_1)$まで運動するときの経路を考える。

つまり、下の図のように$(t_0,x_0)$と$(t_1,x_1)$を結んでみます。

$\gamma^\prime＝\gamma + h$とすると$h(t_0)=h(t_1)=0$なので、

その時、定理１より、$ \Phi (\gamma) $の変分$F$は、

$$F(h) = \int_{t_0}^{t_1} [\frac{\partial L}{\partial x} – \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} ] hdt$$

$(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}h) |_{t_0}^{t_1}$は上記の条件から0になります。そして、この変分が最小となるように$F=0$の場合を考えます。微分の極値を求める話をイメージしてください。

よって、極値曲線は

$$\frac{\partial L}{\partial x} – \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=0$$

によって与えられます。

ハミルトンの原理

Hamiltonの原論文(1835)ではおまけのような扱い。

Jacobiの本(1844)では基本原理とされた。

Lagrangian : $L=T-U$

運動エネルギー : $T=\frac{1}{2}m\dot{x}^2$

作用 : $S=\int_{t_0}^{t_1} L(x,\dot{x},t) dt$

力学系(1)式の運動は作用$S$の極値曲線と一致する。

証明

極値曲線$\gamma$上で

$ \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}＝\frac{\partial L}{\partial x}$・・・(2)

が成り立つ。

まずは左辺の$\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}$から計算します。

$\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}＝\frac{\partial }{\partial \dot{x}}(\frac{1}{2}m\dot{x}^2)=m\dot{x}$・・・(3)

これは運動量です。これを微分すると運動方程式になります。

(2)式の右辺を調べる。$\frac{\partial L}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(-U)$

よって、(2)式は

$m\ddot{x}=-\frac{\partial U}{\partial x}$　□

運動方程式　→　ベクトル

Lagrangian　→　スカラー

上記のような対応関係あることがわかります。

力$F$に対してポテンシャルUを考えるようなイメージ。

重要な点

$\gamma$からの極値曲線であることは座標系の取り方とは無関係である。

よって、方程式

$$\frac{\partial L}{\partial x} – \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=0$$

は任意の座標系で同じ形。

まとめ

3次元空間における粒子の座標を

$$q=(q_1, q_2, \cdots, q_{3n})$$

とするとポテンシャル$U(q)$の運動は、

Euler–Lagrange方程式 : $\frac{\partial L}{\partial q} – \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=0$

Lagrangian : $ L = T – U $

によって与えられる(Lagrange 1788)

注意 : 変分法としてはEuler(1788)

2次元極座標

重要な点で述べたように、例として2次元の極座標を扱ってみます。

定義

$e_r,e_\varphi$は$r,\varphi$方向の単位ベクトルとすると、

$$r_{vector}(t)=r(t)e_r+\varphi (t) e_\varphi$$

左辺はベクトル、右辺はスカラ量$r(t),\varphi (t)$をベクトル方向$ e_r, e_\varphi$に分解したもの。

lem

この極座標の位置を微分したものが以下になります。

$$ \dot {r}_{vector}(t)= \dot {r} e_r+r \dot{\varphi} e_\varphi$$

この状態に図にすると以下のようになります。

Lagrangian

ということで、２次元極座標のLagrangianを求めます。

$T=\frac{1}{2}m\dot{r}_{vector}^2=\frac{1}{2}(\dot {r} e_r+r \dot{\varphi} e_\varphi)^2=\frac{1}{2}m(\dot {r} ^2+r^2 \dot{\varphi}^2) $

$(∵ e_r \cdot e_r = e_\varphi \cdot e_\varphi = 1$ & $ \cdot e_\varphi=0)$

なので、

∴$L=T-U=\frac{1}{2}m(\dot {r} ^2+r^2 \dot{\varphi}^2)-U$

保存量

一般運動量（Poisson 1809)

$$\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}=: p_i$$

$q_i$が循環座標とは、$L$に$q_i$が含まれないこと

定理 : その時$p_i$は保存量

$\dot{p_i}=\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}=\frac{\partial L}{\partial q_i}=0$　□

例 : 2次元中心系

$U(r,\varphi)=U(r)$の時、以下のLagrange方程式を作る。

$$L=\frac{1}{2}m(\dot {r} ^2+r^2 \dot{\varphi}^2)-U(r)$$

$r$: $\frac{\partial L}{\partial r} – \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}=0$

$$\frac{d}{dt}(m\dot{r})-(mr\dot{\varphi}^2-\frac{\partial U}{\partial r})=0$$

$$m\ddot{r}=mr\dot{\varphi}^2-\frac{\partial U}{\partial r}$$

この時、第1項は遠心力になります。

$\varphi$　：$\varphi$は循環座標

$\frac{\partial L}{\partial {\varphi}} – \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}}=\frac{d}{dt}(mr^2\dot{\varphi})=0$ 　(このとき、$mr^2\dot{\varphi}=p_{\varphi}$)

よって、一般運動量$p_\varphi$は保存量。

つまり、

$p_\varphi=mr・r\dot{\varphi}=$角運動量

となり、角運動量保存則を示している。